MATEMÁTICAS CONTEMPORÁNEAS

SIGLO XIX

El siglo XIX merece ser llamado más que ningún otro periodo anterior la edad de Oro de la Matemática. Los progresos realizados durante este siglo superan con mucho, tanto en calidad como en cantidad, la producción reunida de todas las épocas anteriores. Este siglo fue también, con la excepción de la época Heroica de la Antigua Grecia, el más revolucionario de la historia de la Matemática.

Las particularidades del nuevo periodo se manifiestan ya nada más comenzar el siglo. En álgebra hay que tener en cuenta los trabajos de Abel y Galois sobre la resolución de ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el álgebra una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales merece el primer lugar el concepto de grupo.

El descubrimiento en los años 20-30 por Lobachevski y también por J. Bolyai y Gauss de los hechos fundamentales de la geometría hiperbólica no euclidiana y en los años 60-70 la búsqueda de sus interpretaciones, provocaron en el sistema de ciencias geométricas transformaciones de carácter revolucionario. El sistema de disciplinas que forman parte del análisis matemático, sufrió en sus fundamentos una muy profunda reconstrucción sobre la base de la creada teoría de límites y la teoría del número real. A finales de siglo, los recursos del análisis se complementaban con lo que ya se ha venido a llamar aparato épsilon, delta. Junto a este desarrollo del análisis matemático clásico, se separaron de él disciplinas matemáticas independientes: la teoría de ecuaciones diferenciales, la teoría de funciones de variable real y la teoría de funciones de variable compleja. Antes de estudiar estos aspectos más detalladamente citemos tres rasgos que tienen un carácter general para la mayoría de las ciencias matemáticas:

  1. En primer lugar debe tenerse en cuenta la ampliación del contenido del objeto de las matemáticas, debido fundamentalmente a las exigencias crecientes de las ciencias afines.
  2. En segundo lugar la necesidad de fundamentar las matemáticas en su conjunto, produciéndose una revisión crítica de los conceptos primarios y afirmaciones.
  3. La tercera particularidad es la ampliación considerable del campo de aplicaciones, condicionado por el aumento de posibilidades del aparato del análisis matemático.
  • Álgebra Moderna.
    • Teoría General de Ecuaciones Algebraicas.
    • Teoría de Grupos.
    • Álgebra Lineal.
  • Análisis Matemático.
    • Teoría de Límites.
    • Teoría de Funciones.
    • Teoría de Número Real y Teoría de Conjuntos.
  • Teoría de las funciones de variable compleja.
  • Transformación de la geometría.

Álgebra Moderna: El álgebra moderna es un campo extraordinariamente amplio y ramificado en el que se recogen un gran número de disciplinas científicas e independientes cuyo objeto común son las operaciones algebraicas, las cuales representan abstracciones lejanas de las operaciones del álgebra elemental.

Teoría General de las Ecuaciones algebraicas: Este fue el problema fundamental del álgebra durante el siglo XIX, entendiéndose como la búsqueda de las raíces de la ecuación con ayuda de operaciones racionales y la operación de la extracción de la raíz.
En esta época se introdujeron una serie de conceptos, entre ellos el concepto de grupo, que yacen en la base del álgebra moderna. Tengamos en cuenta los trabajos de K.F. Gauss, N.H. Abel y E. Galois, relativos a la demostración de la no resolubilidad en radicales de las ecuaciones de grado mayor que cinco y la creación de la teoría de Galois.
Karl Friedrich Gauss hizo sus primeros descubrimientos en álgebra siendo muy joven, advirtiendo ya en 1796 la relación entre la búsqueda de raíces de la ecuación xn-1=0 y la división de la circunferencia en partes iguales. Tres años más tarde demostraba el teorema fundamental del álgebra, dando en 1815, 1816 y 1849 tres nuevas demostraciones. Recordemos que la primera formulación de este teorema, sin demostrar, fue la dada por Descartes. para la demostración de este teorema necesitó construir los campos de desarrollo de los polinomios.
Otro de los notables descubrimientos algebraicos de comienzo de siglo es la demostración de la irresolubilidad en radicales de las ecuaciones de quinto grado. Por este camino llevó P. Ruffini sus investigaciones a finales del siglo XVIII, pero el primer éxito real lo obtuvo Niels Henrik Abel. Tras esto, Abel realizó investigaciones fundamentales en el campo de la teoría de funciones analíticas, e investigó una serie de funciones especiales como las elípticas e hiperbólicas. Pero Abel no pudo dar un criterio general de resolubilidad en radicales de las ecuaciones con coeficientes numéricos. Sin embargo, la solución a este problema no se hizo esperar largamente y se debe a Evaristo Galois.
El objeto fundamental de sus investigaciones fue el determinar cuando son resolubles mediante radicales las ecuaciones polinómicas.El aparato algebraico introducido tuvo, sin embargo, una significación que salía de los marcos del problema indicado. Su idea del estudio de la estructura de los campos algebraicos y la comparación con ellos de la estructura de los grupos de un número finito de sustituciones, fue la base fructífera del álgebra moderna. la teoría actual de Galois, se ha convertido en una disciplina matemática compleja y ramificada, que incluye un amplio material sobre las relaciones entre las propiedades de las ecuaciones, los números algebraicos y los grupos.

Teoría de Grupos: Galois y Ruffini introdujeron de forma independiente el concepto de grupo. En la primera mitad del siglo XIX, los resultados de la teoría de grupo jugaron un papel auxiliar, especialmente en la teoría de las ecuaciones algebraicas, formándose, predominantemente, la teoría de los grupos finitos.
Posteriormente, ya en los años 50, en trabajos de Cayley y otros, comenzaron a aparecer definiciones abstractas más generales de grupo. este proceso se aceleró desde el año 1870 con los trabajos de C. Jordan, quien hizo un resumen de los resultados de la teoría de grupos finitos en su aplicación a la teoría de números, teoría de funciones y geometría algebraica.
A finales de siglo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría de grupo, resolviéndose, por ejemplo, el problema de la clasificación de todas las redes cristalinas espaciales gracias a los trabajos de E.S Fiedorov . Los grupos discretos finitos, a los que pertenecen los grupos de Fiedorov, obtuvieron extensión en la teoría de los espacios multidimensionales en relación con la teoría de los poliedros regulares en éstos. Posteriormente se planteó la investigación de los grupos infinitos, tanto discretos como continuos y también sobre la creación de un aparato de cálculo adaptado a las necesidades de la teoría de grupo. los logros fundamentales sobre estas cuestiones pertenecen a los discípulos de C. Jordan, F. Klein y S. Lie.

En la confluencia de los siglos XIX y XX la teoría de grupos se ramificó desmesuradamente, formando el núcleo del álgebra actual. Ella se compone de una serie de teorías altamente desarrolladas: los grupos finitos, los grupos discretos infinitos, los grupos continuos, entre ellos los grupos de Lie.
Los métodos teóricos de grupos penetraron en una serie de disciplinas matemáticas y sus aplicaciones. Los descubrimientos de De Broglie, Schrödinger, Dirac y otros, en la mecánica cuántica y en la teoría de la estructura de la materia mostraron que la física moderna debe apoyarse en la teoría de los grupos continuos, en particular en la teoría de la representación de grupos por operadores lineales, la teoría de los caracteres y otras elaboradas por Cartan, H. Weyl y otros científicos. Pasó medio siglo desde los trabajos de Gauss, Abel y Galois y el centro de gravedad en las investigaciones algebraicas se trasladó a la teoría de grupos, subgrupos, anillos, estructuras. En al álgebra comenzó el periodo de las matemáticas modernas.

Álgebra Lineal: La historia del álgebra del siglo XIX quedaría incompleta si no atendiésemos a la formación del álgebra lineal, surgida de la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales y relacionada con la teoría de determinantes y matrices. Durante la segunda mitad de siglo se realizaron investigaciones muy importantes de la teoría de los invariantes de las ecuaciones. En este camino del desarrollo, creció la teoría de las formas que encontró aplicación además de en el álgebra, en la teoría de números, la geometría diferencial, la geometría algebraica y la mecánica.

Análisis Matemático: El análisis matemático, hacia el siglo XIX se convirtió en un sistema de disciplinas ramificado y siguió ocupando un lugar central en las matemáticas. El flujo inagotable de nuevos resultados teóricos y el campo de aplicaciones el cual se amplía continuamente, condicionaron el que en la estructura general de las matemáticas ocuparan un lugar especial, principalmente, las disciplinas analíticas.

Las ecuaciones diferenciales se convirtieron en el medio operativo fundamental del análisis. El aparato del análisis matemático en este siglo era un conjunto de procedimientos y métodos de solución de numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos estos métodos aun podían dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales que rápidamente se independizaba de este último. Los contornos de la teoría en formación de funciones de variable compleja, la teoría de las funciones especiales… se delineaban aun lentamente.

Teoría de Límites: Uno de los lugares centrales del análisis lo ocupa el concepto de límite. Sobre él se apoya todo el aparato de las demostraciones infinitesimales. los matemáticos del siglo XVIII probaron un conjunto de procedimientos para fundamentar el análisis infinitesimal, pero la insatisfactorio de casi todos estos métodos se hizo rápidamente evidente.
A finales del siglo XVIII y principios del XIX era más que evidente la necesidad de costrucción de la teoría de límites como base del análisis matemático y una reconstrucción radical de este último. Este proceso de reconstrucción se reveló claramente en los años veinte de este siglo, sobre todo en los trabajos de Agustín-Luis Cauchy y en sus famosas conferencias, las cuales fueron publicadas en tres libros: “Curso de análisis” (1821); “Resumen de conferencias sobre el cálculo de infinitesimales” (1823) y “Conferencias sobre aplicaciones del análisis a la geometría” (dos tomos 1826,1828). Estos libros tienen una importancia especial, porque en ellos por primera vez, el análisis matemático se construye sucesivamente sobre la teoría de límites. El primero de los libros está dedicado al estudio de las funciones elementales, tanto de variable real como compleja, incluyendo el estudio de las series infinitas. Asimismo se introduce por primera vez, una magnitud infinitesimal como una variable cuyo límite es igual a cero. Expuso también la cuestión de la convergencia de las series, así como sus criterios de convergencia. En el segundo de los libros se expone el cálculo diferencial e integral de función de variable real, destacando la aparición de una demostración analítica de existencia de integral definida de una función continua.

Teoría de Funciones: En la primera mitad de siglo se realizó una investigación profunda de los fundamentos del análisis matemático, utilizando los métodos y resultados de la teoría de conjuntos y la teoría de funciones de variable real.
Los méritos principales en este rama, corresponden a Bernard Bolzano, aunque sus resultados fundamentales vieran la luz después de su muerte. ya en 1817, Bolzano formuló y demostró el teorema de que si un conjunto de números reales está acotado entonces tiene extremo, adelantándose en cuarenta años a Weierstrass.
Igualmente se adelantó a Cauchy en el estudio del criterio de convergencia de sucesiones y dio una definición rigurosa de continuidad de funciones. Estudió profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostró en relación con éstas una serie de notables teoremas, destacando el denominado teorema de Bolzano: una función continua toma todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo.
También amplió la clase de curvas continuas, aplicando el método de acumulación de singularidades y obtuvo, entre otras funciones originales, la función que no tiene derivada en ningún punto y conocida actualmente como función de Bolzano. En otra de sus obras “Paradoja del Infinito” encontramos las bases de la posterior teoría de conjuntos.

Teorías de Número Real y Teoría de Conjuntos: En el año 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K. Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo único objetivo era el de dotar de una teoría rigurosa al número real, problema éste considerado vital para una correcta fundamentación del análisis.
Así Dedekind definió el número real como una cortadura en el conjunto de los números racionales, dando al conjunto de los números reales una interpretación geométrica en forma de línea recta.
Cantor, por su parte, identificó al número real con una sucesión convergente de números racionales. La creación de la teoría de conjuntos infinitos y los números transfinitos pertenece también a G. Cantor. Él demostró la no equivalencia de los conjuntos de números racionales y reales. Durante los años 1879 a 1884 elaboró de forma sistemática la teoría de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto límite, de conjunto derivado…
La teoría general de las potencias de conjuntos, las transformaciones y operaciones sobre conjuntos y las propiedades de los conjuntos ordenados constituyeron fundamentalmente la teoría abstracta de conjuntos. Las cuestiones de fundamentación de la teoría de conjuntos, junto con la investigación de los límites de su aplicación se convirtieron durante el siglo XX en una ciencia especial, la “lógica matemática”, la cual forma una parte importante de los fundamentos de las matemáticas modernas.

El campo de aplicación del análisis matemático creció rápidamente merced a un sin fin de investigadores de los métodos matemáticos de la física y la mecánica: Green, Stokes, Thomson, Hamilton, Maxwell… Entre estas aplicaciones cabe destacar la creación del aparato analítico para la investigación de los fenómenos electromagnéticos, la teoría matemática de la conductividad del calor, o la construcción del aparato matemático de la nueva mecánica.

Teoría de las funciones de Variable Compleja: La teoría actual de las funciones de variable compleja abarca un amplio dominio de las matemáticas, haciéndose difícil enumerar todas sus ramificaciones. Consideremos en primer lugar las premisas acumuladas hasta este momento.
El concepto de número imaginario y después complejo se conocía desde tiempos remotos, introduciendo con posterioridad el conjunto de operaciones.
Durante los siglos XVII y XVIII se establecieron, ya de una forma significativa, un conjunto de importantes aplicaciones de los números complejos en diversas ramas de la ciencia. Sin embargo todos los resultados en esta materia se entremezclaban sin la formulación de una concepción única.
En el siglo XIX llegó el momento de crear la teoría general de las funciones de variable compleja. Esta etapa de la historia, ya en el siglo XIX, se caracterizó por la introducción de definiciones precisadas de los conceptos fundamentales. Ante todo se trató del surgimiento de las interpretaciones geométricas del concepto de número complejo.
Un tratamiento teórico lo suficientemente general de la cuestión surgió inicialmente, en los trabajos de Gauss y después en los de Cauchy. En 1831 Gauss publicó un trabajo sobre la teoría de los residuos bicuadráticos donde expuso la fundamentación teórica y la interpretación geométrica de los números complejos, dándoles por primera vez la denominación que se ha conservado hasta nuestros días. En una carta de Gauss al astrónomo y matemático Bessel, escrita en 1811 y publicada en 1880 daba la interpretación precisa de los números imaginarios, la definición de integral en el plano complejo, el teorema integral, (conocido actualmente como teorema de Cauchy) y el desarrollo de una función analítica en series de potencias. de estos aspectos merece especial atención la integración en el plano complejo, ya que la utilización de las variables complejas en los cálculos de integrales definidas difíciles ejerció una grandísima influencia sobre el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja.
Laplace acudió a la interpretación en variable compleja, desarrollando el método de resolución de ecuaciones lineales en diferencias y diferenciales, conocido bajo la denominación de transformada de Laplace. Ésta y otras transformadas similares, permitieron resolver de forma efectiva muchos problemas de electrotecnia, hidrodinámica, mecánica y conductividad térmica entre otros. Fue precisamente esta presión de los problemas prácticos, lo que llevó a la necesidad de elaborar una teoría de funciones de variable compleja y a estudiar sus relaciones con las demás partes del análisis infinitesimal.
El cumplimiento de esta tarea fue realizado fundamentalmente por Cauchy. Sus primeros trabajos publicados en 1825, tuvieron como objetivo aplicar las magnitudes imaginarias al cálculo de integrales definidas, formulando el teorema integral. Durante los años siguientes 1826-1829 creó la teoría de los residuos, desarrollándola en años posteriores y buscando nuevas aplicaciones. Junto a los trabajos de Cauchy surgieron otros muchos sobre la teoría de funciones de variable compleja, entre los que cabe mencionar los realizados por Abel, Jacobi, Laurent y Liouville.

Durante los años 40 quedó superado el aislamiento de las ideas sobre funciones de variable compleja, merced sobre todo a los trabajos de B. Rieman (1826-1866) en los cuales aparecían amplias analogías que vinculaban esta teoría con otros campos de las matemáticas.
Los resultados fundamentales de Rieman aparecen en sus obras “Fundamentos de la teoría general de funciones de variable compleja” (1851) y en “Teoría de las funciones de Abel” (1857). Entre los problemas analizados por Rieman citaremos el de en qué medida las funciones analíticas se determinan por sus condiciones en la frontera. Otro punto de desarrollo fue la interpretación geométrica de los números complejos y de las funciones de variable compleja, desarrollando las denominadas “superficies de Rieman”. también investigó diversas clases de funciones que satisfacían ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes algebraicos. Partiendo de las ideas de Rieman surgieron gran cantidad de trabajos cuyos autores elaboraron diferentes aspectos de la teoría de funciones de variable compleja.

Otra dirección en el desarrollo de la teoría de funciones de variable compleja, denominada analítica se formó en los trabajos de Weierstrass (1815-1897), quien elaboró un sistema de fundamentación lógica apoyándose en la rigurosa teoría de los números reales, como un medio en el cual funcionan todos los conceptos y métodos fundamentales.

Así, en este época, la mayoría de las investigaciones sobre el tema, se realizaban en el plano de desarrollo de una de las tres direcciones: la teoría de las funciones diferenciales de Cauchy, las ideas geométricas y físicas de Rieman y la dirección analítica de Weierstrass. Fue a finales de siglo y a comienzos del siglo XX cuando se unificaron conceptos, creando una concepción única general de la teoría de funciones de variable compleja.

Transformación de la Geometría: La geometría hacia comienzos del siglo XIX representaba ya un amplio complejo de disciplinas surgidas del análisis y generalizaciones de los datos sobre las formas espaciales de los cuerpos. Junto a las partes elementales, se incluyeron en la geometría casi todas aquellas partes que la conforman actualmente.
La geometría analítica realizó un gran camino de desarrollo y determinó su lugar como parte de la geometría que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuaciones algebraicas con ayuda del método de coordenadas utilizando los métodos del álgebra.
La geometría diferencial se caracterizó por la utilización de los conceptos y métodos del cálculo diferencial, lo que conllevó relaciones estables con el análisis matemático y con numerosos problemas aplicados.
Una de las características principales de la geometría que se desarrolló durante la segunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemáticos estudiaron una gran variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron más populares fueron las que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominada geometría proyectiva. Los métodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde la época de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantes respecto a la proyección, se conformaron en los años 20 del siglo XIX en una nueva rama de la geometría: la geometría proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J. Poncelet.

Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometrías no euclideanas. Podríamos considerar fundador de esta geometría al matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar los conceptos fundamentales que se admitían sobre la naturaleza de la matemática, pero ante el rechazo de sus contemporáneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitario aislamiento.
El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometría no euclideana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostración durante siglos. Lobachevski, que inicialmente intentó demostrar dicho axioma, rápidamente se dio cuenta que ello era imposible, sustituyendo dicho axioma por su negación: a través de un punto no contenido en una recta se puede trazar más de una paralela que yace en el mismo plano que la primera.
El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no euclideana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando el autor presentó muchos de los trabajos que avalaban la nueva teoría. En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) llegó a la misma conclusión a la que había llegado Lobachevski. E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca de forma pública, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera los mismos puntos de vista pero los calló por temor a comprometer su reputación científica. La geometría no euclideana continuó siendo durante varias décadas un aspecto marginal de la matemática, hasta que se integró en ella completamente gracias a las concepciones extraordinariamente generales de Rieman.

Acerca de profbaptista

Soy Ing. Electronico egresado de la Universidad Experimental del Táchira (UNET), cuento con más de 14 años de experiencia en la preparación de estudiantes para los cursos de admision UNET-ULA-USB-Academias Militares en las materias de Mátematica,Física,Química,Algebra,Calculo,Lógica..... asi como tambien cursos individuales o grupales a nivel de bachillerato y universitario.
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6 respuestas a MATEMÁTICAS CONTEMPORÁNEAS

  1. Pingback: Historia de las Matematicas « El Blog del Profe Nelson

  2. carlos nazario dijo:

    Necesito conocer como dibujar una gráfica de tranformaciones si ya tengo los valores de X los de Y tengo que co seguirlos. Por favor podría ver un ejemplo.

  3. Tito José Rosendo Canelón dijo:

    Gracias por su valiosa información. Me ha actualizado en las matemáticas. Lo necesitaba, ya que en forma independiente me estoy iniciando en el campo de la investigación y estoy actualmente estudiando matemáticas. Me guío por la línea del Pensamiento Complejo y de ahí Redes Complejas. Estaremos en contacto. Muchas Gracias.

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