Inecuaciones Lineales
Problema Nº 1. Resolver la siguiente inecuación lineal:
3(x + 2) + 2(3x – 1) – (x – 1) ≤ 5 + 2(5x + 2)-2(2x + 3)
Paso1: Se eliminan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva. De izquierda a derecha el primer paréntesis se multiplica por 3, el segundo por 2, el tercero por (-1), el cuarto por 2 y el quinto por (-2).
3.x + 3.2 + 2.3x + 2.(-1) – 1.x -1.(-1) ≤ 5 + 2.5x + 2.2 – 2.2x – 2.3
3x + 6 + 6x -2 – x + 1 ≤ 5 + 10x + 4 – 4x – 6
Paso 2: Se transponen términos. Los términos 10x y (-4x) del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo, los números 6, (-2) y 1 del primer miembro se pasan al segundo miembro cambiando de signo.
3x + 6x – x – 10x + 4x ≤ 5 + 4 – 6 – 6 + 2 – 1
Paso 3: Reducimos términos semejantes. Se suman o restan los coeficientes de «x» en el primer miembro y se suman o restan los números en el segundo miembro.
13x – 11x ≤ 11 – 13
2x ≤ – 2
Paso 4: Se despeja a la variable «x». El coeficiente 2 que esta multiplicando a la variable x en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.
x ≤ – 1
Solución Gráfica:
Notación de intervalo: (-∞ , -1]
Notación de conjunto: { x∈ℜ/ x ≤ -1}
Problema Nº 2:
Resolver la siguiente inecuación: 2(x – 1)² – 2(x + 1)² ≥ 3(2x – 3) – 1
Paso 1: Se eliminan los paréntesis. De izquierda a derecha en los 2 primeros paréntesis debemos aplicar la formula de producto notable para desarrollar un binomio cuadrado, en el tercer paréntesis multiplicamos por 3.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
2( x² – 2.x.1 + 1²) – 2( x² + 2.x.1 + 1²) ≥ 3.2x + 3.(-3) – 1
Paso 2: Operamos con los coeficientes dentro de cada paréntesis().
2( x² – 2x + 1) – 2( x² + 2x + 1) ≥ 6x – 9 – 1
Paso 3: Se eliminan los paréntesis aplicando la propiedad distributiva en el primer miembro de la inecuación.
2.x² – 2.2x + 2.1 – 2.x² – 2.2x – 2.1 ≥ 6x – 9 – 1
2x² – 4x + 2 – 2x² – 4x – 2 ≥ 6x – 9 – 1
Paso 4: Se agrupan los términos semejantes en el primer miembro.
( 2x² – 2x²) + (4x – 4x) + (2 – 2) ≥ 6x – 10
0x² – 8x + 0 ≥ 6x – 10
-8x ≥ 6x – 10
Paso 5: Se transponen términos. El término 6x del segundo miembro se pasa al primer miembro cambiando de signo.
-8x – 6x ≥ – 10
Paso 5: Se reducen términos semejantes . Se suman los coeficientes de la variable «x» en el primer miembro, recuerda que signos iguales se suman y se copia el mismo signo.
-14x ≥ – 10
Paso 6: Multiplicamos toda la inecuación por «(-1)» para que el coeficiente de la variable «x» sea positivo, se cambia el simbolo de la desigualdad.
(-1).(-14x ≥ – 10)
14x ≤ 10
Paso 7: Se despeja a la variable «x». El coeficiente 14 que está multiplicando en el primer miembro para a dividir al segundo miembro de la inecuación.
Procedemos a representar la solución en forma gráfica:
Notación de intervalo: (-∞ , 5/7]
Notación de conjunto: { x∈ℜ/ x ≤ 5/7}
Inecuaciones Fraccionarias
Problema Nº 3. Resolver la siguiente inecuación fraccionaria:
Paso 1: Hallamos el mínimo común múltiplo de todos los denominadores.
m.c.m.(3,4,12)=12
Paso 2: El mínimo común múltiplo «12» se divide por cada uno de los denominadores, luego el cociente de esa división se multiplica por el numerador respectivo.
En el primer término del primer miembro: 12 ÷ 3 = 4, el cociente de esa división que es 4 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 4.(5x-2).
En el segundo término del primer miembro: 12 ÷ 4 = 3, el cociente de esa división que es 3 se multiplica por el numerador respectivo, quedando –3.(4x+2).
En el primer término del segundo miembro: 12 ÷ 12 = 1, el cociente de esa división que es 1 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 1.(x+1)=(x+1).
4(5x – 2) – 3(4x + 2) < x + 1
Paso 3: Se eliminan los paréntesis. De izquierda a derecha el primer paréntesis multiplicamos por 4 y en el segundo paréntesis se multiplica por (-3).
4.5x – 4.2 – 3.4x – 3.2 < x + 1
20x – 8 – 12x – 6 < x + 1
Paso 4: Se transponen términos. El término x del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo. Los términos (-8) y (-6) del primer miembro pasan al segundo miembro cambiando de signo.
20x – 12x – x < 1 + 8 + 6
Paso 5: Se reducen términos semejantes. Se suman o restan los coeficientes de la variable «x» en el primer miembro, se suman los números del segundo miembro.
7x < 15
Paso 6: Se despeja a la variable «x». El coeficiente 7 que está multiplicando en el primer miembro para a dividir al segundo miembro de la inecuación.
Solución Gráfica:
Test Interactivo: «Inecuaciones de Primer Grado«
Te dejo un test interactivo de inecuaciones de primer grado que se ejecuta vía online. Cada respuesta que marques incorrecta vendrá acompañada de un feedback o comentario con una explicación detallada de la solución correcta a la pregunta. Al final del test encontraras un informe muy detallado de tus resultados. Una vez hagas click en el test por favor espera aprox. 1 minuto(poco más o menos dependiendo de tu conexión a internet) que es el tiempo necesario para que carguen todos los archivos del servidor para iniciar el test. Alguna duda o inquietud me escribes en el blog al final del post(entrada) en la sección de comentarios y te la aclaro con todo gusto. Te dejo las instrucciones y el enlace para que ejecutes el test:
Inecuaciones Cuadráticas
Problema Nº 4. Resolver la inecuación cuadrática:
Paso 1: Simplificamos la inecuación dividiendo cada uno de los términos por 3.
Paso 2: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero, P(x)=x2 -9x+20=0 y hallamos las raíces de la ecuación de segundo grado.
Método para hallar las raíces: Resolvente.
Nota: Hay un método más directo para hallar las raíces por factorización. En el próximo problema las raíces las hallaremos por este método. Te recomiendo repasar dos casos en específico: Factorización de un trinomio de la forma x2 +bx+c y factorización de un trinomio de la forma ax2 +bx+c.
Paso 3: Representamos estos valores en la recta real, colocamos encima de ellos círculos blancos con la finalidad de representar geométricamente que en la inecuación no se permite la igualdad con cero. Es decir, x=4 y x=5 no satisfacen la desigualdad.
Paso 4: Escogemos un punto de cada intervalo, evaluamos en el polinomio y observamos el signo de cada intervalo.
♦ Para (-∞,4), escogemos x=0 y evaluamos en el polinomio:
Conclusión: El polinomio en este intervalo siempre tendrá valores positivos.
♦ Para (4,5), escogemos x=9/2 y evaluamos en el polinomio:
Conclusión: El polinomio en este intervalo siempre tendrá valores negativos.
♦ Para (5,+∞), escogemos x=6 y evaluamos en el polinomio:
Conclusión: El polinomio en este intervalo siempre tendrá valores positivos.
La solución de la inecuación son todos los intervalos donde el polinomio es positivo.
Problema Nº 5. Resuelva la siguiente inecuación cuadrática:
Paso 1: Siempre que nos encontremos con una inecuación de segundo grado con a<0 multiplicamos los dos miembros de la inecuación por (-1), por lo que cambia el sentido de la desigualdad.
Paso 2: Simplificamos la inecuación dividiendo cada uno de los términos por 5.
Paso 3: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero, P(x)=x2 +3x-28=0 y hallamos las raíces de la ecuación de segundo grado.
Método para hallar las raíces: Factorización
En este ejercicio vamos a aplicar factorización de un trinomio de la forma x²+bx+c La solución de la inecuación son todos los intervalos donde el polinomio es positivo.
Reglas para factorizar un trinomio de la forma x²+bx+c :
1) Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer termino será la raíz cuadrada del termino x².
x²+3x-28→ (x )(x )
2) El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el termino “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.
x²+3x-28→ (x + )(x – )
3) Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios. Para x²+3x-28 no aplica este paso 3 ya que los signos son diferentes.
4) Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo término del segundo factor binomio. Los números son 7 y 4, ya que 7-4=3 y 7.4=28.
x²+3x-28→ (x + 7)(x – 4)
Para hallar las raíces se toma cada binomio y se iguala a cero.
x+7=0→x=-7
x-4=0→x=4
Paso 4: Representamos estos valores en la recta real, colocamos encima de ellos círculos blancos con la finalidad de representar geométricamente que en la inecuación no se permite la igualdad con cero, es decir x=-7 y x=4 no satisfacen la desigualdad.
Paso 5: Escogemos un punto de cada intervalo, evaluamos en el polinomio y observamos el signo de cada intervalo.
♦ Para (-∞,-7), escogemos x=-8 y evaluamos en el polinomio:
P(x)=x²+3x-28
P(-8)=(-8)²+3(-8)-28=64-24-28=12>0
Conclusión: El polinomio en este intervalo siempre tendrá valores positivos.
♦ Para (-7,4), escogemos x=0 y evaluamos en el polinomio:
P(x)=x²+3x-28
P(0)=(0)²+3(0)-28=0+0-28=-28<0
Conclusión: El polinomio en este intervalo siempre tendrá valores negativos.
♦ Para (4,+∞), escogemos x=5 y evaluamos en el polinomio:
P(x)=x²+3x-28
P(5)=(5)²+3(5)-28=25+15-28=12>0
Conclusión: El polinomio en este intervalo siempre tendrá valores positivos.
La solución de la inecuación son todos los intervalos donde el polinomio es negativo.
Sistemas de Inecuaciones
Problema Nº 6. Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones:
Resolvamos la inecuación Nº 1:
Paso 1: Se eliminan los paréntesis. De izquierda a derecha el primer paréntesis lo multiplicamos por 20 y el segundo paréntesis lo multiplicamos por 5.
Paso 2: Se transponen términos. El término 10x del segundo miembro se pasa al primer miembro cambiando de signo. Los términos (-20) y (-2) del primer miembro se pasan al segundo miembro cambiando de signo.
Paso 3: Reducimos términos semejantes. En el primer miembro se restan los coeficientes de la variable «x», en el segundo miembro se suman los tres números.
Paso 4: Se despeja a la variable «x»: El coeficiente 10 que esta multiplicando a la variable «x» en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.
Resolvamos la inecuación Nº 2:
Paso 1: Se eliminan los paréntesis. De izquierda a derecha el primer paréntesis lo multiplicamos por 2 y el segundo paréntesis lo multiplicamos por (-4).
Paso 2: Se transponen términos. Los términos 4x y (-2x) del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. El término (-20) del primer miembro se pasan al segundo miembro cambiando de signo.
Paso 3: Reducimos términos semejantes. En el primer miembro se suman o restan los coeficientes de la variable «x». En el segundo miembro se restan los números.
Paso 4: Se despeja a la variable «x»: El coeficiente 4 que esta multiplicando a la variable «x» en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.
Sol: Sol1 ∩ Sol2
Inecuaciones de Orden Superior
Problema Nº 7
Resolver la siguiente inecuación:
Paso1: Se simplifica el factor , ya que para todo «x» que pertenece al conjunto de los números reales el factor
siempre es positivo.
¿Por que el factor siempre es positivo para cualquier valor de x?
Por el teorema del trinomio positivo el factor x2 +x+1 siempre es mayor a cero.
Teorema del Trinomio positivo: Si el polinomio ax2 +bx+c ; a,b,c ∈ R tiene un discriminante (Δ) negativo y a>0, entonces ax2 +bx+c>0; ∀ x ∈ R. Es decir:
P(x)>0; ∀ x ∈ R ⇔ a>0 ∧ Δ<0
Entonces siempre es positivo.
Paso 2: Factorizar la expresión polinómica del primer miembro..
El factor es una diferencia de cuadrados. Aplicamos entonces el caso de Factorización Diferencia de Cuadrados:
El factor es un trinomio de la forma
. Aplicamos entonces factorización de un trinomio de la forma
Por tanto la inecuación quedaría así:
Paso 3: Igualamos el polinomio del primer miembro P(x)=(x+2)(x-2)²(1-x)(x-3) a cero y obtenemos las raíces de la ecuación. Para ello cada uno de los factores del polinomio se iguala a cero y luego se despeja el valor de x.
Paso 4: Representamos estos valores en la recta real. Como la inecuación es estrictamente mayor a cero, no admite valores de x que al ser evaluados en el polinomio, el resultado genere un cero, en este caso son justamente x=-2, x=2, x=1 y x=3. Por lo tanto todos los puntos críticos son abiertos y se representan gráficamente colocando un círculo vació encima de cada punto.
Estos puntos críticos nos determinan 5 intervalos:
Paso 5: De cada intervalo debes escoger un punto de prueba* y luego evaluarlo en la expresión polinómica (x+2)(x-2)²(1-x)(x-3). Si el resultado es un número positivo entonces el polinomio es mayor a cero, si el resultado es un número negativo entonces el polinomio es menor a cero.
*Un punto de prueba es un número que pertenece al intervalo.
En el intervalo
vamos a escoger como punto de prueba a x=-3. Ahora vamos a sustituir este valor en la expresión polinómica:
Sustituir x=-3 en (x+2)(x-2)²(1-x)(x-3) :
= 600>0
«El signo de la expresión polinómica es positivo(mayor a cero), por tanto este intervalo Si satisface la desigualdad «.
Nota: En el resultado el valor del número pasa a un segundo plano ya que solo nos interesa el signo de la operación. Es decir no nos interesa el valor de 600, solo el signo del resultado, que para este caso es positivo(+).
En el intervalo
vamos a escoger como punto de prueba a x=0. Ahora vamos a sustituir este valor en la expresión polinómica:
Sustituir x=0 en (x+2)(x-2)²(1-x)(x-3) :
= -24<0
«El signo de la expresión polinómica es negativo(menor a cero), por tanto este intervalo NO satisface la desigualdad «
En el intervalo
vamos a escoger como punto de prueba a x=1,5=3/2. Ahora vamos a sustituir este valor en la expresión polinómica:
Sustituir x=3/2 en (x+2)(x-2)²(1-x)(x-3):
= 21/32 >0
«El signo de la expresión polinómica es positivo(mayor a cero), por tanto este intervalo Si satisface la desigualdad «.
En el intervalo
vamos a escoger como punto de prueba a x=2,5=5/2. Ahora vamos a sustituir este valor en la expresión polinómica:
Sustituir x=5/2 en (x+2)(x-2)²(1-x)(x-3):
= 27/32 >0
«El signo de la expresión polinómica es positivo(mayor a cero), por tanto este intervalo Si satisface la desigualdad «.
En el intervalo
vamos a escoger como punto de prueba a x=4. Ahora vamos a sustituir este valor en la expresión polinómica:
Sustituir x=4 en (x+2)(x-2)²(1-x)(x-3):
= -72<0
«El signo de la expresión polinómica es negativo(menor a cero), por tanto este intervalo NO satisface la desigualdad «.
Como la inecuación es estrictamente mayor a cero(>0), la solución de la inecuación son todos los intervalos donde la expresión polinómica es positiva(+).
Procedemos a representar la solución en forma gráfica:
Notación de intervalo:
Suscríbete al blog para que recibas avisos cuando se publiquen nuevas entradas de tu interés. Es gratis y tiene muchas ventajas, es muy fácil, solo copias tu dirección de correo electrónico en la barra y pulsas el botón Suscribir.
Redes Sociales:
Quiero compartir contigo una artículo que puede ser de tu interés:
El Blog del Profe Nelson 
Muy bueno!!! Pero el ejercicio número 1 tiene un pequeño error, se puede notar en la cantidad de dígitos que tienen, se comió un -6 en el segundo miembro al momento de la transposición!!
Que bueno que te gusto. Amigo ya hice la corrección muchas gracias. El próximo año estaré incluyendo más contenido. Que tengas un feliz año 2021 lleno de mucha dicha y prosperidad.
Lo felicito colega, el post está muy bien estructurado, con este material ya tengo preparada mi clase gracias a usted. Ya me suscribo a tu blog, muy agradecido con usted profesor baptista. Que Dios te ilumine para que sigas aportando tu granito de arena en el desarrollo del sistema educativo.
En el problema 8 me da otro resultado, sin tomar el -16 y el 4, ya que al tomarlos la «ecuación» da cero, y esta inecuación nos pide mayores que cero, por ende, es sin tomarlos, o me equivoco? corrigeme por favor, estoy estudiando para mi examen 🙂
entiendo todo gracias
El doble de anterior de un numeroaunmentado en 4 es menor q el cuadrado de6 .esto es asi? 2x+4<6•6
Hola Te consulto un problems. El doble del anterior de un Número aunmentado en 4es menor q el cuadrado de6 . x.2+4<6•6. es asi
gracias de todas maneras
gracias muy bueno
muy bueno grax por su ayuda!!!!