Limites y Continuidad

Límite de una función en un punto


El límite de la función f(x) en el punto x0,
es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a
x0
.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

x f(x)
1,9 3,61
1,99 3,9601
1,999 3,996001
2 4
x f(x)
2,1 4.41
2,01 4,0401
2,001 4,004001
2 4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x – x0| < δ , se cumple que |f(x) – L| <ε .


Concepto de límite


cONCEPTO DE LÍMITE



También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

Definición por entorno si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio , existe un entorno de x0 , Eδ(x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L , Eε(L).

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x pertenece  (a+δ, a ) , entonces |f (x) – L| <ε .

Límicte por la izquierda

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x  pertenece (a, a + δ), , entonces |f (x) – L| <ε .


Límite por la derecha


El límite de una función en un punto si existe, es único.


Límites laterales

limite por la izquierda

limite por la izquierda

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4.

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor.

Ejemplo

Dada la función:

función

Hallar límite.

limite por la izquierda

limite por la derecha

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.


Límite infinito


Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K>0 se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.

Límite infinito positivo

límite


Límite en el infinito


Límite menos infinito


Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x → a, si fijado un número real negativo K < 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Límite infinito negativo

Función

Límite en menos infinito


Límite cuando x tiende a infinito


Lïmites cuando x tiende a más infinito


Límite cuando x tiende a menos infinito


Límites cuando x tiende a menos infinito


Cálculo de límites


Gráfica

Límites infinitos


Gráfica

Límites en el infinito


Gráfica


Propiedades de los límites


Límite de una constante

Límite de una constante


Límite de una suma

Límite de una suma


Límite de un producto

Límite de un producto


Límite de un cociente

Límite de un cociente


Límite de una potencia

Límite de una potencia


Límite de una función

Límite de una función


g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.


Límite de una raíz

Límite de una raíz


Límite de un logaritmo

Límite de un logaritmo


Operaciones con infinito

Sumas con infinito

Infinito más un número

Infinito más un numero


Infinito más infinito

Infinito más infinito


Infinito menos infinito

Infinito menos infinito


Productos con infinito

Infinito por un número

Infinito por un numero


Infinito por infinito

Infinito por infinito


Infinito por cero

Infinito por cero


Cocientes con infinito y cero

Cero dividido por un número

Cero partido por un numero


Un número dividido  por cero

Un numero partido por cero


Un número dividido  por infinito

Un numero partido por infinito


Infinito dividido por un número

Infinito partido por un numero

Cero dividido por infinito

Cero partido por infinito


Infinito dividido por cero

Infinito partido por cero


Cero dividido por cero

Cero partido por cero


Infinito partido por infinito

Infinito partido por infinito



Potencias con infinito y cero

Un número elevado a cero

Un número elevado a cero


Cero elevado a cero

Cero elevado a cero


Infinito elevado a cero

Infinito elevado a cero


Cero elevado a un número

Cero  elevado a un númerO


Un número elevado a infinito

Un numero partido por infinito


Cero elevado a infinito

Cero elevado a infinito


Infinito elevado a infinito

Infinito elevado a infinito


Uno elevado a infinito

Uno elevado a infinito


No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:

La regla de los signos y que a-n = 1/a n



Cálculo del límite en un punto


Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

límite

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.


Cálculo del límite en un punto

Cálculo del límite en un punto

Cálculo del límite en un punto

No podemos calcular límite porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Sin embargo si podemos calcular límiteç, aunque 3 no pertenezca al dominio, D= R − {2, 3}, si podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como queramos.


Cálculo del límite en una función definida a

trozos


En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.


función a trozos.


En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:límite

Por la derecha:límite

Como en ambos casos coinciden, existe el límite y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:límite

Por la derecha:límite

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.


Límite de funciones polinómicas en el

infinito


El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es +∞ o -∞ según que el término de mayor grado sea positivo o negativo.


límite

límite


Límite de la inversa de un polinomio en el

infinito


Si P(x) es un polinomio, entonces:


Límite de la inversa de un polinomio en el infinito.

límite


Cálculo de límites cuando x → -∞


Cálculo de límites cuando x tiende a -∞

límite

límite

límite

límite

No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.



Límite de la función exponencial


Si a > 0

función exponencial

límite

límite

Si 0 < a < 1

función exponencial


límite

límite

límite

límite

límite

límite



Límite de la función logarítmica

Si a > 0

límite

límite

Si 0 < a < 1

límite

límite

función

función

función logarítmica



Límites de logaritmos


Límite de logartimo

Límite de logartimo

Límite de logartimo

Límite de logartimo

Límite de logartimo


Indeterminaciones


Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.


Tipos de indeterminación


1. Infinito dividido por infinito

Infinito partido por infinito


2. Infinito menos infinito

Infinito menos infinito


3. Cero dividido por cero

Cero partido por cero


4. Cero por infinito

Infinito por cero


5. Cero elevado a cero

Cero elevado a cero


6. Infinito elevado a cero

Infinito elevado a cero


7. Uno elevado a infinito

Uno elevado a infinito


Comparación de infinitos


límites

1. f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si:

infinito de orden superior

infinito de orden superior

2. f(x) es un infinito de orden inferior a g(x) si:

infinito de orden inferior

infinito de orden inferior

2. f(x) es un infinito de igual orden a g(x) si:

infinito de igual orden


Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden superior.

Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior.

Cualquier función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a cualquier potencia de x.

Las potencias de x son infinitos de orden superior a las funciones logarítmicas.

Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.


Hallar los límites por comparación de infinitos:


comparación de infinitos

comparación de infinitos

comparación de infinitos



Límite de un número dividido por cero


límite de un número partido por cero

El límite puede ser +∞, −∞ ó no tener límite.


límite


Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la izquierda como −1,1; tanto el numerador como denominador son negativos, por lo que el límite por la izquierda será: +∞.


Límite por la izquierda


Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como −0,9. El numerador será positivo y el denominador negativo, por lo que el límite por la derecha será: − ∞.


Límite por la derecha


Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite cuando x → 1.


límite

límite por la izquierda

límite por la derecha

límite

límite

límite por la izquierda

límite por la derecha

límite




Indeterminación infinito dividido por

infinito

infinito partido infinito

Podemos resolver esta indeterminación por dos métodos:

1. Por comparación de infinitos.


límite


El numerador tiene mayor grado que el denominador.


límite


El denominador tiene mayor grado que el numerador.


límite


Al tener el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de mayor grado.


límite


límite


límite


límite


límite


límite


límite


límite


límite


límite


2. Si se trata de funciones potenciales dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.


límite

límite


Si son funciones exponenciales dividimos por la exponencial de mayor base.


límite

límite




Indeterminación infinito menos infinito


infinito menos infinito

1. Por comparación de infinitos.


límite


límite


límite


límite


límite


límite


límite


límite


2. Con funciones racionales.

Ponemos a común denominador.


Límite

Límite

Límite


Límite


Límite

Límite

Límite


3. Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.


límite

límite

límite

límite



Indeterminación cero dividido por cero


cero partido cero

1. Función racional sin radicales:

Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.


límite

límite

límite

límite

límite

límite

No tiene límite en x = −1


2. Función racional con radicales:

En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional.

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.


límite

límite

límite

límite


Indeterminación cero por infinito



Cero por Infinito

Se transforma a Infinito partido infinito ó a Cero partido por cero


Transformaciones

límite


límite


límite

límite



Indeterminación uno elevado a infinito


Indeterminación uno elevado a infinito

Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e.

Expresión del número e


1er Método:


límite


límite


límite

límite


límite

límite


límite


límite


límite


límite


Método:


Cálculo abreviado de uno elevado ainfinito

límite

límite

límite

límite




Acerca de profbaptista

Soy Ing. Electronico egresado de la Universidad Experimental del Táchira (UNET), cuento con más de 14 años de experiencia en la preparación de estudiantes para los cursos de admision UNET-ULA-USB-Academias Militares en las materias de Mátematica,Física,Química,Algebra,Calculo,Lógica..... asi como tambien cursos individuales o grupales a nivel de bachillerato y universitario.
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Una respuesta a Limites y Continuidad

  1. Yeni dijo:

    Me encanto tu post………..

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