Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:


<

menor que

2x − 1 < 7

menor o igual que

2x − 1 ≤ 7

>

mayor que

2x − 1 > 7

mayor o igual que

2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuacíón.


Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

Ejemplo 1:

2x − 1 < 7

2x < 8     x < 4

solución

(-∞, 4)


Ejemplo 2:


2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

solución

(-∞, 4]


Ejemplo 3:


2x − 1 > 7

2x > 8     x > 4

solución

(4, ∞)


Ejemplo 4:

2x − 1 ≥ 7

2x ≥ 8     x ≥ 4

solución

[4, ∞)



Criterios de equivalencia de inecuaciones


Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.


3x + 4 < 5         3x + 4 − 4 < 5 − 4       3x < 1


Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.


2x < 6                2x : 2 < 6 : 2       x < 3


Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

−x < 5          (−x) · (1) > 5 · (1)      x > −5



Inecuaciones de primer grado


Consideremos la inecuación:


inecuación


La resolveremos aplicando los siguientes pasos:


Quitar corchetes.


resolución de la inecuación


Quitar paréntesis.


resolución de la inecuación


Quitar denominadores.


resolución de la inecuación

resolución de la inecuación


Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.


resolución de la inecuación


Efectuar las operaciones


resolución de la inecuación


Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.


resolución de la inecuación


Despejamos la incógnita.


resolución de la inecuación


Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica:

gráfica

Como un intervalo: [3, +∞)


Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas


Su solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.


2x + y ≤ 3


Transformamos la desigualdad en igualdad.


2x + y = 3


Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.


x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)

x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)


Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.


gráfica

Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.


2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3      


gráfica


2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3       0 > 3      No


En este caso (mayor que, pero no igual) los puntos de la recta no pertenecen a la solución.


gráfica



Inecuaciones de segundo grado


Consideremos la inecuación:


x2 − 6x + 8 > 0


La resolveremos aplicando los siguientes pasos:


Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.


x2 − 6x + 8 = 0


solución a la ecuación


Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:


gráfica


P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0

P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0

P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0


La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.


gráfica

S = (-∞, 2)  (4, ∞)


Ejemplo 2:


x2 + 2x +1 ≥ 0

x2 + 2x +1 = 0

solución

(x + 1)2 ≥ 0


Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R


Solución

x2 + 2x +1 ≥ 0

(x + 1)2 ≥ 0

R

x2 + 2x +1 > 0

(x + 1)2 > 0

R-1

x2 + 2x +1 ≤ 0

(x + 1)2 ≤ 0

x = − 1

x2 + 2x +1 < 0

(x + 1)2 < 0

vacio

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 = 0

solución


Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R.

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.


Solución

x2 + x +1 ≥ 0

R

x2 + x +1 > 0

R

x2 + x +1 ≤ 0

vacio

x2 + x +1 < 0

vacio

Inecuaciones racionales


Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.


inecuación


Hallamos las raíces del numerador y del denominador.


x − 2 = 0      x = 2

x − 4 = 0      x = 4


Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

gráfica

inecuación

signos

signos

signos


gráfica


La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.


S = (-∞, 2] Unión (4, ∞)


inecuación


Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.


inecuación


Hallamos las raíces del numerador y del denominador.


−x + 7 = 0      x = 7

x − 2 = 0        x = 2


Evaluamos el signo:


signos

signos

signos

solución gráfica

S = (-∞, 2) Unión (7, ∞)


Sistemas de inecuaciones con una incógnita


Se resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.


sistema

resolución primera ecuación

solución segunda ecuación


solución  gráfica


[−1, 3]

Ejemplo 2:

sistema

sistema

sistema


solución gráfica


(3, ∞)


Ejemplo 3:

sistema

sistema

sistema


solución gráfica


No tiene solución.


Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas


La solución a este sistema es la intersección de las regiones que corresponden a la solución de cada inecuación.


sistema


Representamos la región solución de la primera inecuación.

Transformamos la desigualdad en igualdad.


2x + y = 3


Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.


x = 0;     2 · 0 + y = 3;   y = 3;          (0, 3)

x = 1;     2 · 1 + y = 3;   y = 1;          (1, 1)


Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.


gráfica

Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.


2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3       0 ≤ 3      


gráfica


Representamos la región solución de la segunda inecuación.


x + y = 1

x = 0;      0 + y = 1;   y = 1;          (0, 1)

x = 1;      1 + y = 1;   y = 0;          (1, 0)


gráfica;


x + y ≥ 1

0 + 0 ≥ 1      No


gráfica


La solución es la intersección de las regiones soluciones.


gráfica


Acerca de profbaptista

Soy Ing. Electronico egresado de la Universidad Experimental del Táchira (UNET), cuento con más de 16 años de experiencia en la preparación de estudiantes para los cursos de admision UNET-ULA-USB-Academias Militares en las materias de Mátematica,Física,Química,Algebra,Calculo,Lógica..... asi como tambien cursos individuales o grupales a nivel de bachillerato y universitario.
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5 respuestas a Inecuaciones

  1. juan dijo:

    Excelente, me encanto tu blogg muy completo…sigue así

  2. Joseph_el_matematico dijo:

    Colega, le felicito por su blogg en un corto tiempo ha publicado muy buen información de forma desinteresada, debe apreciar a esos muchachos de la unefa para darles informacion tan buena jajajaja, me imagino cuantas veces tendra que repetirles a esos chamos pa que medio entiendan me dicen que los de la unefa y mision sucre son medio bruticos jajaja….mire profe hay chance de trabajo en la usb pero tiene que mudarse para aca vengase para aca y se desarrolla bien profesionalmente, esta vez le hago la propocision publicamente jajajajaja

  3. el_bello dijo:

    Bueno que te puedo decir, me encanto tu blogg, muy buena información, muy bien estructurado. Por cierto metele algunos videitos porno xxx jajajaja

  4. Sara dijo:

    Como se resuelven inecuaciones por ejemplo que tienen en el dominador de una fraccion la x dentro de una raiz?

    Algo asi como 1/ Raíz de x + 1 > a 0

  5. yurany caicedo dijo:

    excelente el blogg

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