ECUACIONES ALGEBRAICAS

ECUACIONES ALGEBRAICAS

Una ecuación en matemática se define como una igualdad establecida entre dos expresiones, en la cual pueden haber una o más incógnitas que deben ser resueltas. Normalmente, la incógnita es x. 

La incógnita x representa al número (o números), si existen, que hace que la igualdad sea verdadera. Este número desconocido es la solución de la ecuación. Al cambiar la por la solución, la igualdad debe ser cierta.

Un tipo de importante de ecuación es la ecuación polinomial de una variable, que puede escribirse de la forma P = 0, donde P es un polinomio en una variable.  El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, así por ejemplo las ecuaciones:

6x – 18 = 0 es de primer grado

2x² – 9x + 10 = 0 es de segundo grado

2X³ + 3X² – 2X – 4 = 0 es de tercer grado

y⁴ + 7y² -2 = 0 es de cuarto grado

Ecuaciones Algebraicas de Primer Grado

La ecuación de primer grado o lineal, es una ecuación de la forma:

ax + b = 0

donde a y b son números reales y a ≠  0.  Es el tipo de ecuación más sencillo para resolver y se reconoce por tener la variable o incógnita únicamente elevada a la primera potencia.

Para resolver las ecuaciones de primer grado se debe tener en cuenta las siguientes reglas para modificar ecuaciones:

  1. Si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, sus soluciones no varían.
  2. Si se multiplica o divide ambos lados de una ecuación por la misma cantidad diferente de cero, sus soluciones no varían. 

Ejemplo:

Considérese la ecuación:

7x – 4 = 3x + 8

Se transponen términos:

7x – 3x = 8 + 4

Se reducen términos semejantes:

4x = 12

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 4 que esta multiplicando en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

x = 12÷4

x = 3

Se puede verificar que el valor encontrado efectivamente es la solución de la ecuación. La verificación es la prueba de que valor obtenido para la incógnita es correcto, la misma se realiza sustituyendo dicho valor en la ecuación dada, y si es cierto se convertirá en una identidad; así en el ejemplo anterior, haciendo x = 3 en la ecuación dada, resulta: 

7x – 4 = 3x + 8

7x – 4 = 3x + 8

7(3) – 4 = 3(3) + 8

21 – 4 = 9 + 8

17 = 17

Lo cual es cierto, por lo tanto la solución para la ecuación si es x = 3

Ejercicios con solución:

Consigue el conjunto de soluciones para las siguientes ecuaciones:

1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

2) (5 – 3x) – (-4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)

3) 2(t – 5) = 3 – (t + 4)

4) 4x – (2x + 3)(3x – 5) = 49 – (6x -1)(x – 2)

5) x – {5 + 3x – [5x – (x + 6)]} = -3

6) 5b(x + 5b) = 2b(2b – x) 

Solución:

1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

Se transponen términos. Los términos (7y) y (5y) del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. El número (-81) del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.

5y + 6y -7y – 65y = 102 + 81

Se reducen términos semejantes: Se suman o restan los coeficientes de “y” en el primer miembro y se suman los números del segundo miembro.

-61y = 183

Como el coeficiente de la variable “y” es negativo se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:

61y = -183

Se despeja a la variable “y”: El coeficiente 61 que esta multiplicando a la variable “y” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro

y = -183÷61

y = -3

2) (5 – 3x) – (-4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)

Se eliminan parentesís aplicando la propiedad distributiva:

5 – 3x + 4x – 6 = 8x + 11 – 3x + 6

Se transponen términos: Los términos 8x y (-3x) del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. Los números 5 y (-6) del primer miembro se pasan al segundo miembro cambiando de signo.

– 3x + 4x – 8x + 3x = 11 + 6 – 5 + 6

Se reducen términos semejantes: Se suman o restan los coeficientes de “x” en el primer miembro y se suman o restan los números del segundo miembro.

-4x = 18

Se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:

4x = -18

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 4 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

3) 2(t – 5) = 3 – (t + 4)

Se eliminan parentesís aplicando la propiedad distributiva:

2t – 10 = 3 – t – 4

Se transponen términos : El términos (-t) del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. El número (-10) del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.

2t + t = 3 – 4 + 10

Se reducen términos semejantes: Se suman los coeficientes de “x” en el primer miembro y se suman o restan los números del segundo miembro.

3t = 9

Se despeja a la variable “t”: El coeficiente 3 que esta multiplicando a la variable “t” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

t = 9 ÷ 3

t = 3

4) 4x – (2x + 3)(3x – 5) = 49 – (6x -1)(x – 2)

Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

4x – (2x.3x – 2x.5 + 3.3x – 3.5) = 49 – (6x.x – 6x.2 -1.x + 1.2)

4x – (6x² – 10x + 9x -15) = 49 – (6x² – 12x – x + 2)

4x – 6x² +10x – 9x + 15 = 49 – 6x² + 12x + x – 2

Se agrupan términos semejantes en cada miembro:

– 6x² + (4x + 10x – 9x) + 15 = – 6x² + (12x +x ) – 2

Se reducen términos semejantes en cada miembro:

-6x² + 5x + 15 = -6x² + 13x + 47

Se transponen términos: Los términos (-6x²) y 13x del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. El número 15 del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.

-6x² + 6x² + 5x – 13x = 47 – 15

Se reducen términos semejantes : Se restan los coeficientes de “x²” , se restan los coeficientes de “x” en el primer miembro y se restan los números del segundo miembro.

-8x = 32

Se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:

8x = -32

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 8 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

x = -32 ÷ 8

x = -4

5) x – {5 + 3x – [5x – (x + 6)]} = -3

Se eliminan los paréntesis: El signo negativo que precede(esta antes de) al paréntesis le cambia el signo a todos los términos que se encuentran dentro del mismo.

x – {5 + 3x – [5x – x – 6]} = -3

Se eliminan los corchetes: El signo negativo que precede al corchete le cambia el signo a todos los términos que se encuentran dentro del mismo.

x – {5 + 3x – 5x + x + 6} = -3

Se eliminan las llaves: El signo negativo que precede a la llave le cambia el signo a todos los términos que se encuentran dentro de la misma.

x – 5 – 3x + 5x – x – 6 = -3

Se agrupan términos semejantes en el primer miembro:

(x – 3x + 5x – x) + (- 6 – 5) = -3

Se reducen términos semejantes en el primer miembro: Se suman o restan los coeficientes de “x” y se suman los números en el primer miembro.

2x – 11 = -3

Se transponen términos:

2x = -3 + 11

Se reducen términos semejantes en el segundo miembro: Se restan los números en el segundo miembro.

2x = 8

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 2 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

x = 8 ÷ 2

x = 4

6) 5b(x + 5b) = 2b(2b – x)

Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

5b.x + 5b.5b = 2b.2b – 2b.x

5bx + 25b² = 4b² – 2bx

Se transponen términos: El término (-2bx) del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo. El término 25b² del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.

5bx + 2bx = 4b² – 25b²

Se reducen términos semejantes : Se suman los coeficientes de “x” en el primer miembro, se restan los coeficientes de “b²” en el segundo miembro.

7bx = -21b²

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 7b que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

x = -21b² ÷ 7b

Se divide 21÷7 y se aplica división de potencias de igual base (b²÷b):

x = -3b

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.(2,3,4 y 5) = 60

El m.c.m. se multiplica por todos los términos de la ecuación:

El m.c.m. se divide por cada denominador y el cociente de esa división(resultado) se multiplica por el numerador respectivo.

En el primer término del primer miembro: 60 ÷ 2 = 30, el cociente de esa división que es 30 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 30.(x-1).

En el segundo término del primer miembro: 60 ÷3 = 20, el cociente de esa división que es 20 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 20.(x-2).

En el tercer término del primer miembro: 60 ÷4 = 15, el cociente de esa división que es 15 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 15.(x-3).

En el primer término del segundo miembro: 60 ÷ 5 = 12, el cociente de esa división que es 12 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 12.(x-5).

30(x – 1) – 20(x – 2) – 15(x – 3) = 12 (x – 5)

Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

30.x – 30.1 -20.x + 20.2 -15.x + 15.3 = 12.x – 12.5

30x – 30 – 20x + 40 – 15x + 45 = -12x + 60

Se agrupan términos semejantes en el primer miembro:

(30x – 20x -15x) + ( -30 + 40 + 45) = -12x + 60

Se reducen términos semejantes en el primer miembro: Se suman o restan los coeficientes de “x” , se suman y restan los números en el primer miembro.

-5x + 55 = -12x + 60

Se transponen términos: El término (-12x) del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo. El término 55 del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.

-5x + 12x = 60 – 55

Se reducen términos semejantes: Se restan los coeficientes de “x” en el primer miembro y se restan los números en el segundo miembro.

7x = 5

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 7 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

;

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.(6 y 4) = 12

El m.c.m. se divide por cada denominador y el cociente de esa división(resultado) se multiplica por el numerador respectivo.

En el primer término del primer miembro: 12 ÷ 1 = 12, el cociente de esa división que es 12 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 12.4=48.

En el segundo término del primer miembro: 12 ÷ 6 = 2, el cociente de esa división que es 2 se multiplica por el numerador respectivo, quedando –2.(10x+1).

En el primer término del segundo miembro: 12 ÷ 1 = 12, el cociente de esa división que es 12 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 12.4x=48x.

En el segundo término del segundo miembro: 12 ÷ 4 = 3, el cociente de esa división que es 15 se multiplica por el numerador respectivo, quedando –3.(16x+3).

48 – 2(10x + 1) = 48x – 3(16x + 3)

Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

48 – 2.10x – 2.1 = 48x – 3.16x – 3.3

48 – 20x – 2 = 48x – 48x – 9

Se agrupan términos semejantes:

-20x + (48 -2) = (48x – 48x) – 9

Se reducen términos semejantes: Se restan los números del primer miembro y se restan los coeficientes de la variable “x” en el segundo miembro.

-20x + 46 = – 9

Se transponen términos: El número 46 del primer miembro pasa al segundo miembro cambiando de signo.

-20x = – 9 – 46

Se reducen términos semejantes en el segundo miembro: Se suman los números del segundo miembro, recuerda que signos iguales se suman y se copia el mismo signo.

-20x = -55

Se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:

20x = 55

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 20 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

Para simplificar la fracción se divide por 5 el numerador y el denominador.

Test Interactivo: “Ecuaciones de Primer Grado

Te dejo un test interactivo de ecuaciones de primer grado que se ejecuta vía online. Cada respuesta que marques incorrecta vendrá acompañada de un feedback o comentario con una explicación detallada de la solución correcta a la pregunta. Al final del test encontraras un informe muy detallado de tus resultados. Una vez hagas click en el test por favor espera aprox. 1 minuto(poco más o menos dependiendo de tu conexión a internet) que es el tiempo necesario para que carguen todos los archivos del servidor para iniciar el test. Alguna duda o inquietud me escribes en el blog al final del post(entrada) en la sección de comentarios y te la aclaro con todo gusto. Te dejo las instrucciones y el enlace para que ejecutes el test.

Ecuaciones algebraicas de segundo grado

La ecuación de segundo grado o cuadrática, es una ecuación de la forma:

ax² + bx + c = 0

donde a, b  y  c son números reales y a ≠ 0. Este tipo de ecuación se reconoce por tener la variable o incógnita  elevada al cuadrado.

Una ecuación cuadrática tiene como máximo  tres términos, es decir existen ecuaciones de segundo grado con uno, dos o tres términos. Debido a esto, existen cuatro formas de encontrar ecuaciones de segundo grado en función de sus términos, las cuales son:

1) b = 0  y  c = 0    ⇒    ax² = 0

2) b = 0  y  c ≠ 0    ⇒    ax² + c = 0

3) b ≠ 0  y  c = 0    ⇒    ax² + bx = 0

4) b ≠ 0  y  c ≠ 0    ⇒    ax² + bx + c = 0

Estudiando caso por caso, se tiene:

Primer caso: dada la ecuación ax² + bx + c = 0, con bx = 0 y c = 0, entonces ax² = 0; la solución es trivial ya que único numero que la satisface es x = 0.

Ejemplos:

1) 3x² = 0

2) 15x² = 0

3) -3x² = 0

Segundo caso: dada la ecuación ax² + bx + c = 0, con bx = 0 y c ≠ 0, entonces ax² + c = 0. En cuanto a y c existen dos posibilidades, que son:

1) a y c tienen igual signo

En este caso la solución pertenece a los números irracionales, y es:

2) a y c tienen distinto signo

En este caso la solución pertenece a los números reales, y es:

Ejemplos:

1) 4x² – 16 = 0

Se transponen términos:

4x² = 16

El coeficiente “4” que esta multiplicando en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro:

x² = 16 ÷ 4

x² = 4

Se despeja a la variable “x”, como esta elevada al cuadrado, para realizar el despeje se aplica la raíz cuadrada en el segundo miembro de la ecuación. Luego hay que preguntarnos ¿Cuales números elevados al cuadrado dan 4? La respuesta es 2, y recordando que cualquier número elevado al cuadrado da positivo, entonces la solución a la ecuación es:

x = ± 2

x = 2 ∨ x = -2

El conjunto solucion es: {-2, 2}

Nota: El símbolo ∨ es el operador matemático para “o”.

2) 5 – 3x² = 0

Se transponen términos:

3x² = 5

El coeficiente “3” que esta multiplicando en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro:

Luego hay que preguntarnos ¿Cuales números elevados al cuadrado dan 5/3? Simplemente la raíz cuadrada de 5/3, y recordando que cualquier número elevado al cuadrado da positivo, entonces la solución a la ecuación es el conjunto:

ya que la ecuación tiene dos valores que la satisfacen:

Tercer caso: dada la ecuación ax² + bx + c = 0, con bx ≠ 0 y c = 0, entonces ax² + bx = 0. La solución de esta ecuación es de fácil comprensión, factorizandola resulta:

ax² + bx = 0   ⇒   x(ax + b) = 0

Y para que el producto de dos factores valga 0, es necesario que uno de ellos valga 0, por lo tanto x = 0ax + b = 0.

La primera solución es x = 0 y la segunda se obtiene de resolver la ecuación de primer grado ax + b = 0, el término b que es positivo en el primer miembro pasa negativo al segundo miembro. El coeficiente a que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

Ejemplos:

1) 9x² + 36x = 0

Se factoriza el factor común “x”:

x(9x + 36) = 0

Se igualan ambos factores a “0”:

x = 0   ∨  9x + 36 =0

Las soluciones son:

x = 0   y   x = -4

2) 5x² – 19x = 0

Se factoriza el factor común “x”:

x(5x – 19) = 0

Se igualan ambos factores a “0”:

x = 0   ∨  5x -19 = 0

Las soluciones son:

Cuarto caso: dada la ecuación ax² + bx + c = 0, con bx ≠ 0 y c ≠ 0, entonces ax² + bx + c = 0. Para resolver este tipo de ecuaciones se requiere de un estudio especial, el cual explicaremos a continuación.

Sea ax² + bx + c = 0, se resolverá esta ecuación para x en términos de a, b y c, por medio de la formula cuadrática (resolvente) sustituyendo los valores de a, b y c en la fórmula:

Ejemplos:

1) 6x² – 11x – 10 = 0

Sustituyendo a = 6, b= -11 y c= -10 en la formula:

El conjunto de las soluciones es:

2) 4x² – 4x + 1 = 0

Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que la solución se facilita factorizando:

(2x – 1)² = 0

Finalmente, se mostrara como obtener información acerca del carácter de las raíces de una ecuación cuadrática sin tener que resolverla. En la formula cuadrática la cantidad subradical b² – 4ac = 0 recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. El carácter de las raíces puede determinarse obteniendo el valor de la discriminante, por los que:

1.- Si b² – 4ac = 0, la ecuación tiene dos raíces reales e iguales; es decir tiene una raíz doble.

2.- Si b² – 4ac > 0, la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.

3.- Si b² – 4ac < 0, la ecuación no tiene solución real; las raíces son imaginarias y diferentes; son complejos conjugados entre si.

Ejemplos:

1) 4x² – 4x + 1 = 0

b² – 4ac = (-4)² – 4.4.1 = 16 – 16 = 0

Presenta una raíz doble, como se demostró en el ejercicio anterior cuando se resolvió y se encontró que la solución es una raíz doble.

2) x² – 11x + 10 = 0

b² – 4ac = (-11)² – 4.10.1 = 121 – 40 = 61 > 0

La ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.

Ecuaciones racionales que conducen a ecuaciones de primer y segundo grado

Una ecuación racional es aquella en la que aparecen términos que son expresiones racionales, como:

Ejemplos:

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.(5, 3x y x) = 15x

El m.c.m. se multiplica por todos los términos de la ecuación:

El m.c.m. se divide por cada denominador y el cociente de esa división(resultado) se multiplica por el numerador respectivo.

En el primer término del primer miembro: 15x ÷ 5 = 3x, el cociente de esa división que es 3x se multiplica por el numerador respectivo, quedando 3x.3=9x.

En el segundo término del primer miembro: 15x ÷ 3x = 5, el cociente de esa división que es 5 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 5.1=5.

En el primer término del segundo miembro: 15x ÷ x = 15, el cociente de esa división que es 15 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 15.3=45.

9x + 5 = 45

Se transponen términos:

9x = 45 – 5

Se reducen términos semejantes: Se restan los números del segundo miembro.

9x = 40

El coeficiente “9” que esta multiplicando en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro:

Nota: siempre que resuelvas una ecuación racional debes comprobar que el resultado satisface a la ecuación.

Comprobación:

x=40/9 satisface la ecuación

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.((2 – y); (y+4)) = (2 – y).(y + 4)

El m.c.m. se multiplica por todos los términos de la ecuación:

Se eliminan los factores comunes en cada uno de los términos: En el primer término el factor (2-y) del numerador se simplifica con el factor 2-y del denominador. En el segundo término el factor (y+4) del numerador se simplifica con el factor y+4 del denominador.

y + 4 + 2.(2 – y) = 0

Se elimina el paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

y + 4 + 2.2 – 2.y = 0

y + 4 + 4 – 2y = 0

Se agrupan términos semejantes:

(y – 2y) + (4 + 4) = 0

– y + 8 = 0

Se transponen términos:

8 = y

y = 8

Comprobación:

y=8 satisface la ecuación

Se factoriza la diferencia de cuadrados ubicada en el segundo término del segundo miembro.

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.(3x – 1 , 3x + 1) = (3x+1)(3x-1)

El m.c.m. se multiplica por todos los términos de la ecuación:

Se eliminan los factores comunes en cada uno de los términos: En el primer miembro el factor (3x-1) del numerador se simplifica con el factor 3x-1 del denominador. En el primer término del segundo miembro el factor (3x+1) del numerador se simplifica con el factor 3x+1 del denominador. En el segundo término del segundo miembro los factores (3x+1)(3x-1) del numerador se simplifican con los factores (3x+1)(3x-1) del denominador.

3x + 1 = 3.(3x – 1) + x – 2

Se elimina el paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

3x + 1 = 3.3x – 3.1 + x – 2

3x + 1 = 9x – 3 + x – 2

Se transponen términos: Los términos 9x y x del segundo miembro pasan al primer miembro cambiando de signo. El número 1 del primer miembro pasa al segundo miembro cambiando de signo.

3x – 9x -x = – 3 – 2 – 1

Se reducen términos semejantes: En el primer miembro se suman o restan los coeficientes de la variable “x”. En el segundo miembro se suman los tres números.

-7x = -6

Se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:

7x = 6

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente “7” que esta multiplicando en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

Comprobación:

El valor obtenido no satisface la ecuación, por lo tanto la solución es vacío {Ø}.

Se factoriza el factor común “x” en el denominador del segundo miembro:

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.(x + 2 , x.(x+2)) = x.(x+2)

El m.c.m. se multiplica por todos los términos de la ecuación:

Se eliminan los factores comunes en cada uno de los términos: En el primer miembro el factor (x+2) del numerador se simplifica con el factor x+2 del denominador. En el segundo miembro los factores x(x+2) del numerador se simplifican con los factores x(x+2) del denominador.

(3x – 2).x = 5

Se elimina el paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

3x.x – 2x – 5 = 0

x² – 2x – 5 = 0

Se aplica la resolvente, sustituyendo a = 1, b= -2 y c= -5 en la fórmula:

Comprobación:

Para x = 5/3

La solución satisface a la ecuación.

Para x = -1

La solución satisface a la ecuación.

El conjunto de soluciones es:

Ecuaciones Irracionales

Una ecuación racional es aquella que tiene una o mas incógnitas, bajo el signo radical.

Para resolver una ecuación irracional se debe tener en cuenta lo siguiente: si A y B son dos expresiones algebraicas, entonces A = B es una ecuación algebraica y su conjunto de soluciones es subconjunto de soluciones de la ecuación Aⁿ = Bⁿ donde n es cualquier entero positivo.

Por ejemplo, en el caso de la ecuación: x = 10 se tiene por conjunto de soluciones {10}. Si se eleva al cuadrado ambos lados se obtiene: x² = 100,  que tiene por conjunto de soluciones {±10}. Por lo tanto, el conjunto solución de la primera ecuación es subconjunto del conjunto de soluciones de la segunda.

Ejemplos:

Se transponen términos:

Se elevan al cuadrado ambos ambos miembros de la ecuación:

Se eliminan los paréntesis. En el primer miembro se simplifica la raíz con la potencia cuadrada, en el segundo miembro se aplica la fórmula de binomio cuadrado (a-b)² = a² – 2.a.b + b².

x + 5 = 7² – 2.7.x + x²

x + 5 = 49 – 14x + x²

x² – 14x + 49 = x + 5

Se transponen términos: El término x del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo. El número 5 del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo.

x² – 14x -x + 49 – 5 = 0

Se agrupan términos semejantes:

x² + (- 14x – x) + (49 – 5) = 0

x² – 15x + 44 = 0

Se factoriza la ecuación, se aplica factorización de un trinomio de la forma x² + bx +c. Si deseas repasar o reforzar este caso de factorización te recomiendo estudiar el siguiente video:

(x – 4).(x – 11) = 0

Se igualan ambos factores a “cero”:

x – 4 = 0 → x = 4

x – 11 = 0 → x = 11

x = 4 ∨ x = 11

Comprobación:

Para x = 4

La solución satisface a la ecuación.

Para x = 11

Esto es falso, por lo tanto no satisface a la ecuación y se le denomina solución extraña. En consecuencia el conjunto de soluciones es {4}.

Se transponen términos:

Se elevan al cuadrado ambos ambos miembros de la ecuación:

Se eliminan los paréntesis. En el primer miembro se simplifica la raíz con la potencia cuadrada, en el segundo miembro se aplica la fórmula de binomio cuadrado (a+b)² = a² + 2.a.b + b².

Se transponen términos: El término z del primer miembro pasa al segundo miembro cambiando de signo. El término 1 del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo.

Se reducen términos semejantes: En el primer miembro se resta 5 – 1, en el segundo miembro se restan los coeficientes de la variable “z”.

Se elevan al cuadrado ambos ambos miembros de la ecuación:

16 = 4z

4z = 16

El coeficiente “4” que esta multiplicando a la variable “z” pasa a dividir al otro miembro:

z = 16 ÷ 4

z = 4

Comprobación:

z=4 satisface la ecuación

Ejercicios Propuestos

1) 1 – 3(2x – 4) = 4(6 – x) – 8

2) 10(m – 9) – 9(5 – 6m) = 2(4m – 1) + 5(2m + 1)

3) 16y – [3y – (6 – 9y)] = 30y + [- (3y + 2) – (y + 3)]

4) (4 – 5x).(4x – 5) = (10x – 3).(7 – 2x)

5) x² – 3x + 10 = 0

6) 25x² + 2 = 15x

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71 comentarios sobre “ECUACIONES ALGEBRAICAS

  1. hola algien me puede explicar con manzanas por favor: La señora Julia ha invitado a sus 6 nietos a una merienda, para la cual ha preparado 4 pastelitos del mismo tamaño, decorados con toda mala intención, de tal forma que uno ha quedado dividido en sextos, otro en octavos, otro más en décimos y el último en catorceavos. Les pide que se los repartan de tal forma que a cada uno le toque la misma cantidad de pastel. ¿Cómo deben proceder si solo cuentan con un cuchillo pastelero?

  2. a ver quien me resuelve estas que le pusieron a mi hijo:
    8734’2398 redibdear
    2+(3Y”2) para Y=2
    X”3Y para X=4, Y= -4
    X”y+Z para X=23, Y=9, Z=3
    18″n=21
    el que las resuelva me puede escribir a mi correo tumerengue@gmail.com por favor, gracias

    1. Buenas noches. Esta es la solución:
      [(2)2 .(-2)5 . (2)2]
      La potencia de base negativa se puede escribir de como (-2)5=-(2)5, base negativa exponente impar resultado negativo.
      =[(2)2 .(-(2)5) . (2)2]
      =[-(2)2 .(2)5 . (2)2] multiplicamos los signos
      =[-(2)2+5+2] Aplicamos la propiedad de multiplicación de potencias de igual base
      =[-(2)7] sumamos los exponentes
      =-(2)7
      =-128.
      Exitos y bendiciones.

  3. quien puedes ayudarme es para el hijo..
    -3x=-6 ,

    x sobre 20 =5
    .
    x-4=5,

    x sobre 5 -6 =-9. .

    problema mediante ecuaciones: pedro vende cada dia 3 libros mas q el dia anterior, si vende 4o libros en 5 dias. cuantos vendio el primer dia?
    cual es la expresion matematica de los siguientes:
    un numero aumentado en ocho es igual a doce.
    un numero disminuido en seis es igual a menos cuatro.
    el opuesto de un numero aumentado en uno es igual a cinco.
    el triple de un numero es igual a menos nueve.
    la suma de dos pares consecutivos es igual a veintiseis,
    la uma de un numero con su anterior es igual a menos nueve.
    la tercera parte de un numero mas el numero es igual a doce.
    el sextuple de un numero es igual a menos seiscientos. ayuda xfa….

    1. -3X = -6 HAY QUE DESPEJA LA X , ya que el -3 esta multiplicando a la x en el lado izquierdo pasa a dividir al -6 al lado derecho de la siguiente manera: X= -6/-3 = R// X = 2 ; en las otras ecuaciones creo que son divisiones si en el lado derecho estan dividiendo a la x pasan a restar al lado derecho

  4. BUENAS TARDES, ME PUEDE HACER EL FAVOR DE PONER COMO CITAR ESTE ARTICULO, YA QUE HAY MUCHA INFORMACIÓN QUE ME SERVIRÁ PARA MI INVESTIGACIÓN DE ANTEMANO MUCHAS GRACIAS

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